Question

①在直角坐標系中，

x=a+rcosθ y=b+rsinθ

表示什么曲線？（其中a，b，r是常數(shù)，且r為正數(shù)，θ為變量．）
②若點P為圓C：（x-2）²+（y-3）²=4上任意一點，且O為原點，A（1，0），求

OP

•

AP

的取值范圍．

Answer 1

分析：①由cos²θ+cos²θ=1 消去θ，即得 曲線的直角坐標方程，從而得出表示什么曲線即可．
②根據(jù)點P為圓C：（x-2）²+（y-3）²=4上任意一點，故由①可設(shè)點P的坐標為（2+2cosθ，3+2sinθ），將向量用三角式表示，再利用向量的數(shù)量積公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出

OP

•

AP

的取值范圍．

解答：解：①∵a，b，r是常數(shù)，且r為正數(shù)，θ為變量，且

x=a+rcosθ y=b+rsinθ

，
∴有：

x-a=rcosθ y-b=rsinθ

?（x-a）²+（y-b）²=r²．                         …（3分）
所以，在直角坐標系中，

x=a+rcosθ y=b+rsinθ

表示的是以（a，b）為圓心，r為半徑的圓．            …（6分）
②∵點P為圓C：（x-2）²+（y-3）²=4上任意一點，故由①可設(shè)點P的坐標為（2+2cosθ，3+2sinθ）．      …（8分）
∴

OP

=(2+2cosθ，3+2sinθ)，

AP

=(1+2cosθ，3+2sinθ)．   …（10分）
故

OP

•

AP

=(2+2cosθ)(1+2cosθ)+(3+2sinθ)2
?

OP

•

AP

=15+6cosθ+12sinθ=15+6

5

sin(θ+φ)…（12分）
又∵-1≤sin（θ+φ）≤1，∴15-6

5

≤

OP

•

AP

≤15+6

5

．     …（13分）

點評：本題考查軌跡方程、圓的參數(shù)方程，把參數(shù)方程化為普通方程的方法，兩個向量的數(shù)量積，正弦函數(shù)的值域，