A，B是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩點，且OA⊥OB．
（1）求A，B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；
（2）求弦AB中點P的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），中點P（x0，y0），
（1）k0A=，kOB=，
∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，
∵y12=2px1，y22=2px2，
∴•+y1y2=0
∴y1y2=-4p2，x1x2=4p2，
（2）設(shè)OA：y=kx，代入y2=2px得x=0，x=，
∴A（，），同理以-代k得B（2pk2，-2pk）
∴，消去k求得=（）2+2，即y02=px0-2p2，即中點P軌跡方程為y2=px-2p2．
（3）S△AOB=S△AOM+S△BOM=|OM|（|y1|+|y2|）=p（|y1|+|y2|）≥2p=4p2
當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|時，等號成立
分析：（1）先設(shè)出A，B，中點P的坐標，分別表示出AO，OB的斜率，利用二者垂直判斷出二者斜率乘積為-1求得x1x2+y1y2=0把拋物線的方程代入即可求得x1x2和y1y2．
（2）設(shè)出AO的方程代入拋物線求得x的值，進而表示出A的坐標，同理可表示出B的坐標，進而可表示出x0和y0，消去k即可求得二者的關(guān)系式，進而求得AB中點P的軌跡方程；
（3）根據(jù)S△AOB=S△AOM+S△BOM，表示出△AOB面積，利用基本不等式求得面積的最小值．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關(guān)鍵是靈活利用韋達定理，直線方程和曲線的方程聯(lián)立等．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上異于原點O的兩點，則“
OA
•
OB
=0”是“直線AB恒過定點（2p，0）”的（　�。�
A、充分非必要條件
B、充要條件
C、必要非充分條件
D、非充分非必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A，B是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩點，且OA⊥OB．
（1）求A，B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；
（2）求弦AB中點P的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[理]已知A、B是拋物線y2=4x上兩點，且
OA
•
OB
=0，則原點O到直線AB的最大距離為（　�。�
A、2B、3C、4D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A、B是拋物線y2=x上的兩點，O為原點，且OA⊥OB，則直線AB必過定點
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設(shè)過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線段AB中點的橫坐標．

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