(2009•青浦區(qū)二模)(文)已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn).
(1)設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1,與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P(4,4),求直線AB的斜率;
(2)問題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素:已知圓錐曲線Γ,過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn);結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值.請你對問題(1)作適當(dāng)推廣,并給予解答;
(3)若線段AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q(x0,0).若x0>2,試用x0表示線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)題意將直線l1,直線l2,分別與拋物線方程聯(lián)立,求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再利用斜率公式可求斜率;
(2)推廣:已知拋物線y2=2px上有一定點(diǎn)P,過點(diǎn)P作斜率分別為k、-k的兩條直線l1、l2,分別交拋物線于A、B兩點(diǎn),試計(jì)算直線AB的斜率.再利用(1)的方法求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo),從而利用斜率公式可求斜率;
(3)先求出線段AB(不平行于y軸)的垂直平分線的方程,再確定其線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
解答:解:(1)由
x+y-8=0
y2=4x.
解得A(16,-8);由
x+y=0
y2=4x.
解得B(0,0).
由點(diǎn)斜式寫出兩條直線l1、l2的方程,l1:x+y-8=0;l2:x-y=0,所以直線AB的斜率為-
1
2
. …(4分)
(2)推廣:已知拋物線y2=2px上有一定點(diǎn)P,過點(diǎn)P作斜率分別為k、-k的兩條直線l1、l2,分別交拋物線于A、B兩點(diǎn),試計(jì)算直線AB的斜率.
過點(diǎn)P(x0,y0),斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為y=k(x-x0)+y0,y=k(x-x0)+y0,其中y02=2px0
y=k(x-x0)+y0
y2=2px
得ky2-2py+2py0-ky02=0,所以A(
(
2p
k
-y0)
2
2p
,
2p
k
-y0)

同理,把上式中k換成-k得B(
(
2p
k
+y0)
2
2p
,-
2p
k
-y0)
,所以
當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率不存在,當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率為-
p
y0

(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則yi2=4xi(i=1,2).               …(13分)
設(shè)線段AB的中點(diǎn)是M(xm,ym),斜率為k,則k=
y2-y1
x2-x1
=
4
y1+y2
=
2
ym
,…(15分)
線段AB的垂直平分線l的方程為y-ym=-
ym
2
(x-xm)
,…(17分)
又點(diǎn)Q(x0,0)在直線l上,所以-ym=-
ym
2
(x0-xm)
,
而ym≠0,于是xm=x0-2.故線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0-2.   …(18分)
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題,主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查斜率公式,有較強(qiáng)的綜合性
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1  (1≤n≤2009)
-2•(
1
3
)n-2009 (n≥2010)
,設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.下列關(guān)于
lim
n→+∞
Sn
的結(jié)論,正確的是( 。

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{x|x<-1}
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3+i
i
,則|
.
 z 
|
=
10
10

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