【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)M是對(duì)角線上的點(diǎn)(點(diǎn)M與A、不重合),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
①存在點(diǎn)M,使得平面平面;
②存在點(diǎn)M,使得平面;
③若的面積為S,則;
④若、分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點(diǎn)M,使得.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】C
【解析】
平面與平面為同一平面,證明平面即可判斷①;由證明平面平面判斷②;連接交于點(diǎn)O,當(dāng)時(shí)可得,利用相似可得,進(jìn)而求得的最小面積,即可判斷③;分別判斷點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中,、的范圍,進(jìn)而判斷④.
連接,,
設(shè)平面與對(duì)角線交于M,由,可得平面,即平面,所以存在點(diǎn)M,使得平面平面,所以①正確;
連接,,
由,,利用平面與平面平行的判定,可證得平面平面,設(shè)平面與交于M,可得平面,所以②正確;
連接交于點(diǎn)O,過O點(diǎn)作,
在正方體中,平面,所以,所以OM為異面直線與的公垂線,根據(jù),所以,即,
所以的最小面積為,
所以若的面積為S,則,所以③不正確;
在點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中,從1減少趨向于0,即,從0增大到趨向于2,即,在此過程中,必存在某個(gè)點(diǎn)使得,所以④是正確的,
綜上可得①②④是正確的,
故選:C
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【題目】《九章算術(shù)·均輸》中有如下問題:“今有五人分十錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).這個(gè)問題中,甲所得為( )
A.錢B.錢C.錢D.錢
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(k+)lnx+,k∈[4,+∞),曲線y=f(x)上總存在兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),使曲線y=f(x)在M,N兩點(diǎn)處的切線互相平行,則x1+x2的取值范圍為
A. (,+∞) B. (,+∞) C. [,+∞) D. [,+∞)
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【題目】如圖,在平面四邊形中,等邊三角形,,以為折痕將折起,使得平面平面.
(1)設(shè)為的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.
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【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且滿足向量 。
(1)若,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過F1,問是否存在過F2的直線與該圓相切?若存在,求出其斜率;若不存在,說明理由。
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【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)試討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)存在極值,對(duì)于任意的,存在正實(shí)數(shù),使得 ,試判斷與的大小關(guān)系并給出證明.
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【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),為直線上一點(diǎn),過作的垂線交橢圓于、.當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),求四邊形的面積.
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【題目】某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn),現(xiàn)選擇15名志愿者,對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測(cè)量(單位:厘米),左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,右圖為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖,并求得其回歸方程為,以下結(jié)論中不正確的為
A. 15名志愿者身高的極差小于臂展的極差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系,
C. 可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米,
D. 身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米,
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