在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知頂點(diǎn)A上三條棱長分別是
2
3
、2.如果對角線AC1與過點(diǎn)A的相鄰三個面所成的角分別是α、β、γ,那么cos2α+cos2β+cos2γ=
 
分析:跟據(jù)題意知,分別找出對角線AC1與面AB1所成的角為∠C1AB1=α,與面AD1所成的角為∠C1AD1=β;與面AC所成的角為∠C1AC=γ;,并且求出它們的余弦值,可求cos2α+cos2β+cos2γ的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:∵B1C1⊥面AB1
∴AC1與面AB1所成的角為∠C1AB1=α;
同理AC1與面AD1所成的角為∠C1AD1=β;
AC1與面AC所成的角為∠C1AC=γ;
∵AB=2,AD=
2
,AA1=
3
,
∴AC1=3,AC=
6
,AB=
7
,AD1=
5
,
∴cosα=
AB1
AC1
=
7
,cosβ=
AD1
AC1
=
5
3
,cosγ=
AC
AC1
=
6
3
,
∴cos2α+cos2β+cos2γ=
7
9
+
5
9
+
6
9
=2

故答案為2.
點(diǎn)評:考查直線和平面所成的角,關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影,把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=
3
,AD=
3
,AA′=1,則AA′和BC′所成的角是( 。

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