Question

1．已知集合{x∈Z|$\frac{2}{x-1}$+1＞0且x²-（k+3）x+3k＜0}={2}，則實數(shù)k的取值范圍是[-2，3）．

Answer 1

分析 由$\frac{2}{x-1}$+1＞0，化為：（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1，或x＜-1．由x²-（k+3）x+3k＜0，因式分解為：（x-3）（x-k）＜0，對k分類討論，利用不等式的解法、集合的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：由$\frac{2}{x-1}$+1＞0，化為：$\frac{x+1}{x-1}$＞0，∴（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1，或x＜-1．（*）
由x²-（k+3）x+3k＜0，因式分解為：（x-3）（x-k）＜0，
k＞3時，解得3＜x＜k，不滿足條件，舍去；
k=3時，不等式的解集為∅，舍去．
k＜3時，解得k＜x＜3，
當(dāng)-1≤k＜3時，與（*）聯(lián)立：解得1＜x＜3，x∈Z，∴滿足{x∈Z|$\frac{2}{x-1}$+1＞0且x²-（k+3）x+3k＜0}={2}，因此-1≤k＜3．
當(dāng)-2≤k＜-1時，與（*）聯(lián)立：解得k＜x＜-1或1＜x＜3，x∈Z，∴滿足{x∈Z|$\frac{2}{x-1}$+1＞0且x²-（k+3）x+3k＜0}={2}，因此-2≤k＜-1．
當(dāng)k＜-2時，與（*）聯(lián)立：解得k＜x＜-1或1＜x＜3，x∈Z，∴滿足{x∈Z|$\frac{2}{x-1}$+1＞0且x²-（k+3）x+3k＜0}≠{2}，舍去．
綜上可得：實數(shù)k的取值范圍是[-2，3）．
故答案為：[-2，3）．

點評 本題考查了不等式的解法、集合的運算性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．