Question

18．某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如圖所示：

等級	不合格		合格
得分	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
頻數(shù)	6	a	24	b

（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人這任選4人，記所選4人的量化總分為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望E（ξ）；
（Ⅲ）某評估機構以指標M（M=$\frac{E（ξ）}{D（ξ）}$，其中D（ξ）表示ξ的方差）來評估該校安全教育活動的成效．若M≥0.7，則認定教育活動是有效的；否則認定教育活動五校，應調整安全教育方案．在（Ⅱ）的條件下，判斷該校是否應調整安全教育方案？

Answer 1

分析 （I）利用頻率分布直方圖的性質即可得出．
（II）從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學生數(shù)=$\frac{24}{60}×$10=4，則“合格”的學生數(shù)=6．由題意可得ξ=0，5，10，15，20．利用“超幾何分布列”的計算公式即可得出概率，進而得出分布列與數(shù)學期望．
（III）利用Dξ計算公式即可得出，可得M=$\frac{E（ξ）}{D（ξ）}$，即可得出結論．

解答 解：（I）樣本容量=$\frac{6}{0.005×20}$=60．b=60×（0.01×20）=12，
a=60-6-12-24=18．組距為20，
∵在頻率分布直方圖中，各個長方形的面積的和等于1．
∴20（0.005+0.01+c+0.02）=1
解得c=0.015
（II）從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學生數(shù)=$\frac{24}{60}×$10=4，則“合格”的學生數(shù)=10-4=6．
由題意可得ξ=0，5，10，15，20．
則P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{4}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$，P（ξ=5）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{24}{210}$，P（ξ=10）=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{90}{210}$，P（ξ=15）=$\frac{{∁}_{4}^{1}×{∁}_{6}^{3}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{80}{210}$，P（ξ=20）=$\frac{{∁}_{6}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{15}{210}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	5	10	15	20
P	$\frac{1}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{15}{210}$

∴Eξ=0+5×$\frac{24}{210}$+10×$\frac{90}{210}$+15×$\frac{80}{210}$+20×$\frac{15}{210}$=12．
（III）Dξ=（0-12）²×$\frac{1}{210}$+$（5-12）^{2}×\frac{24}{210}$+（10-12）²×$\frac{90}{210}$+（15-12）²×$\frac{80}{210}$+（20-12）²×$\frac{15}{210}$=16．
∴M=$\frac{E（ξ）}{D（ξ）}$=$\frac{12}{16}$=0.75＞0.7，則認定教育活動是有效的；在（Ⅱ）的條件下，判斷該校不用調整安全教育方案．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．