Question

8．已知函數(shù)f（x）=（e^x-e^-x）x，f（log₅x）+f（log${\;}_{\frac{1}{5}}$x）≤2f（1），則x的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{5}$，1]
• B． [1，5]
• C． [$\frac{1}{5}$，5]
• D． （-∞，$\frac{1}{5}$]∪[5，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=（e^x-e^-x）x，可得f（-x）=（x），函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（e^x-e^-x）x，∴f（-x）=-x（e^-x-e^x）=（e^x-e^-x）x=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
∵f′（x）=（e^x-e^-x）+x（e^x+e^-x）＞0在[0，+∞）上成立．
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
f（log₅x）+f（log${\;}_{\frac{1}{5}}$x）≤2f（1），
∴2f（log₅x）≤2f（1），即f（log₅x）≤f（1），
∴|log₅x|≤1，
∴$\frac{1}{5}≤x≤5$．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、對數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．