【題目】如圖所示,將一塊直角三角形板置于平面直角坐標系中,已知,點是三角板內一點,現因三角板中,陰影部分受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可用經過點的任一直線將三角板鋸成,設直線的斜率為.
(1)用表示出直線的方程,并求出點的坐標;
(2)求出的取值范圍及其所對應的傾斜角的范圍;
(3)求面積的取值范圍.
【答案】(1)MN方程為:,,;(2),;(3)
【解析】
(1)先利用點斜式得出直線的方程,再得直線OA方程為:y=x ,直線AB方程為:x=1,分別與直線MN的方程聯立即可得出;
(2)
(3)利用三角形的面積計算公式可得S△AMN,通過換元利用導數即可得出其單調性最值,進而得出區(qū)間D;
(1)依題意,得MN方程為:,即,
∵AB⊥OB,|AB|=|OB|=1,∴直線OA方程為:y=x ,直線AB方程為:x=1,
聯立 ,得.
聯立,得.
(2)由(1)知:,∴k>1或k≤,且,得k≥,∴.
∵直線的傾斜角,且,∴.
(3)在中,由(2)知:
S△AMN==.
設,設.∵,
∴f(t)在是單調遞增.∴當時,,即當1﹣k=時即k=時,(S△)max=
當時,,即當1﹣k=時即k=時,(S△)min=,
面積的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,定義兩點與之間的“直角距離”為:.現給出下列4個命題:
①已知、,則為定值;
②已知三點不共線,則必有;
③用表示兩點之間的距離,則;
④若是橢圓上的任意兩點,則的最大值為6.
則下列判斷正確的為__________.
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【題目】已知復數 z a bi ,其中 a .b 為實數,i 為虛數單位, 為 z 的共軛復數,且存在非零實數 t ,使成立.
(1)求 2a b 的值;
(2)若| z 2 | 5,求實數 a 的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知點,直線與曲線相交于,兩點,若,求的值.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,坐標原點為.橢圓的動弦過右焦點且不垂直于坐標軸, 的中點為,過且垂直于線段的直線交射線于點
(I)證明:點在直線上;
(Ⅱ)當四邊形是平行四邊形時,求的面積.
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【題目】一個口袋內有個不同的紅球,個不同的白球,
(1)從中任取個球,紅球的個數不比白球少的取法有多少種?
(2)若取一個紅球記分,取一個白球記分,從中任取個球,使總分不少于分的取法有多少種?
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