已知O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A=
π
4
，若
cosB
sinC
•
AB
+
cosC
sinB
•
AC
=2m
AO
，則m，的值為（　�。�
分析：根據(jù)三角形內(nèi)心的充要條件：若O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則
PO
=
cosA
2sinB•sinC
PA
+
cosB
2sinA•sinC
PB
+
cosC
2sinA•sinB
PC
，代入A=
π
4
，并令P與A點(diǎn)重合，可構(gòu)造關(guān)于m的方程．
解答：解：∵O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，根據(jù)外心的充要條件可得，
對(duì)于平面內(nèi)任意點(diǎn)P均有：
PO
=
cosA
2sinB•sinC
PA
+
cosB
2sinA•sinC
PB
+
cosC
2sinA•sinB
PC

令P與A點(diǎn)重合，由A=
π
4
可得：
則
AO
=
cosB
2
•sinC
AB
+
cosC
2
•sinB
AC
=
2
（
cosB
sinC
•
AB
+
cosC
sinB
•
AC
）
又∵
cosB
sinC
•
AB
+
cosC
sinB
•
AC
=2m
AO
，
∴2m=
2

∴m=
2
2

故選A
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，其中熟練掌握三角形內(nèi)心的充要條件：若O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則
PO
=
cosA
2sinB•sinC
PA
+
cosB
2sinA•sinC
PB
+
cosC
2sinA•sinB
PC
，是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O是銳角三角形△ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知O是銳角三角形△ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=（　�。�
A．sinθB．cosθC．tanθD．不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年浙江省金華一中高三（上）10月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A=，若，則m，的值為（ ）
A．
B．1
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年湖北省荊州市公安三中高三（上）數(shù)學(xué)積累測(cè)試卷10（解析版） 題型：選擇題

已知O是銳角三角形△ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若，則m=（ ）
A．sinθ
B．cosθ
C．tanθ
D．不能確定

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