Question

已知O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A=

π

4

，若

cosB

sinC

•

AB

+

cosC

sinB

•

AC

=2m

AO

，則m，的值為（　�。�

• A．

  2

  2

• B．1
• C．

  2

  4

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：根據(jù)三角形內(nèi)心的充要條件：若O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則

PO

=

cosA

2sinB•sinC

PA

+

cosB

2sinA•sinC

PB

+

cosC

2sinA•sinB

PC

，代入A=

π

4

，并令P與A點(diǎn)重合，可構(gòu)造關(guān)于m的方程．

解答：解：∵O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，根據(jù)外心的充要條件可得，
對(duì)于平面內(nèi)任意點(diǎn)P均有：

PO

=

cosA

2sinB•sinC

PA

+

cosB

2sinA•sinC

PB

+

cosC

2sinA•sinB

PC

令P與A點(diǎn)重合，由A=

π

4

可得：
則

AO

=

cosB

2 •sinC

AB

+

cosC

2 •sinB

AC

=

2

（

cosB

sinC

•

AB

+

cosC

sinB

•

AC

）
又∵

cosB

sinC

•

AB

+

cosC

sinB

•

AC

=2m

AO

，
∴2m=

2

∴m=

2

2

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，其中熟練掌握三角形內(nèi)心的充要條件：若O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則

PO

=

cosA

2sinB•sinC

PA

+

cosB

2sinA•sinC

PB

+

cosC

2sinA•sinB

PC

，是解答的關(guān)鍵．