Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
（�。┣笞C：點M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)a=2，c=1，從而b²=a²-c²=3，即可得橢圓C前方程．
（Ⅱ）（i）由題意得F（1，0），N（4，0）．設(shè)A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），

m2

4

+

n2

3

=1．
由題意知AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）-（m-4）y=0．由此入手能夠推出點M恒在橢圓G上．
（ⅱ）設(shè)AM的方程為x=ty+1，代入

x2

4

+

y2

3

=1得（3t²+4）y²+6ty-9=0．設(shè)A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系能夠求出△AMN面積的最大值．

解答：解：
（Ⅰ）由題設(shè)a=2，c=1，從而b²=a²-c²=3，
所以橢圓C前方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）（i）由題意得F（1，0），N（4，0）．
設(shè)A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），

m2

4

+

n2

3

=1．①
AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0．
設(shè)M（x₀，y₀），則有n（x₀-1）-（m-1）y₀=0，②
n（x₀-4）+（m-4）y₀=0，③
由②，③得
x₀=

5m-8

2m-5

，y0=

3n

2m-5

由于

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

3n2

(2m-5)2

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

3n2

(2m-5)2

=

(5m-8)2+12n2

4(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m2

4(2m-5)2

=1
所以點M恒在橢圓G上．
（ⅱ）設(shè)AM的方程為x=ty+1，
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），則有y1+y2 =-

6x

3x2+4

，y1y2=-

9

3t2+4

．
|y1-y2|  =

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 3 • 3t2+3

3t2+4

，
令3t²+4=λ（λ≥4），則|y₁-y₂|=

4 3• λ-1

λ

=4

3

-( 1 λ )2+ 1 λ

=4

3

-( 1 λ - 1 2 ) 3+ 1 4

，
∵λ≥4，0＜

1

λ

≤

1

4

，∴當(dāng)

1

λ

=

1

4

，即λ=4，t=0時，|y₁-y₂|有最大值3，此時AM過點F，△AMN的面積S△AMN=|FN||y1-y2|  =

3

2

|y1-y2|有最大值

9

2

．

點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力．