Question

已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A，B，C成等差數(shù)列，b=

1

2

，記角A=x，a+c=f（x）
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f(x-

π

6

)=

3

5

，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（I）由三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合A、B、C成等差數(shù)列算出B=

π

3

，利用正弦定理列式可得a=

3

3

sinx，c=

3

3

sin（

2π

3

-x），從而得到f（x）=

3

3

[sinx+sin（

2π

3

-x）]，利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得f（x）=sin（x+

π

6

）．最后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合x∈（0，

2π

3

）即可算出f（x）的值域；
（II）由（I）求出的f（x）的解析式算出sinx=

3

5

，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出cosx之值，根據(jù)二倍角的正弦公式加以計(jì)算，可得sin2x的值．

解答：解：（I）∵A+B+C=π，且A、B、C成等差數(shù)列，
∴A+C=2B=π-B，可得B=

π

3

，
∵△ABC中，A=x，b=

1

2

，可得C=π-A-B=

2π

3

-x
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

，得

a

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

=

1 2

sin π 3

=

3

3

，
由此可得a=

3

3

sinx，c=

3

3

sin（

2π

3

-x），
∴f（x）=a+c=

3

3

[sinx+sin（

2π

3

-x）]=

3

3

（

3

2

sinx+

3

2

cosx）
=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
∵A=x∈（0，

2π

3

），可得x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴

1

2

＜sin（x+

π

6

）≤1，即f（x）的值域?yàn)椋?span id="eb0m16r" class="MathJye">

1

2

，1]；
（II）∵f（x）=sin（x+

π

6

），可得f(x-

π

6

)=sinx=

3

5

，
∴cosx=±

1-cos2x

=±

4

5

，
由于sinx=sinA＜sinB=

3

2

，結(jié)合正弦定理可得a＜b，得A＜B．
因此x=A為銳角，得cosx=

4

5

，從而得到sin2x=2sinxcosx=

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了正弦定理及其應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角恒等變換公式等知識(shí)，屬于中檔題．