Question

19．“開門大吉”是某電視臺推出的游戲節(jié)目，選手面對1～8號8扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金，在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示．
（Ⅰ）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱是否與年齡有關(guān)；說明你的理由：（下面的臨界值表供參考）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（Ⅱ）現(xiàn)計劃在這次場外調(diào)查中按年齡段用分層抽樣的方法選取6名選手，并抽取3名幸運選手，求3名幸運選手中在20～30歲之間的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，利用公式求出k²=3＞2.706，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求3名幸運選手中在20～30歲之間的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）

年齡/正誤	正確	錯誤	合計
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合計	20	100	120

K²=$\frac{120×（70×10-30×10）^{2}}{20×100×40×80}$=3＞2.706
∴有90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱與否和年齡有關(guān)…（4分）
（Ⅱ）設(shè)3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，…（5分）
20～30歲之間的人數(shù)是2人…（6分）
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$（10分）

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

…（11分）
Eξ=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1     …（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗知識的運用，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，考查概率知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．