Question

7．已知：函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（ω＞0）的周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（4）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值，并求使y=f（x）取得最小值時(shí)的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式求ω的值；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）代入求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（4）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值，并求使y=f（x）取得最小值時(shí)的x的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（ω＞0）的周期為π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2；
（2）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{1}{12}π$+kπ≤x≤$\frac{5}{12}π$+kπ
∴函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{5}{12}π$]，[$\frac{11}{12}$π，π]；
（3）f（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
（4）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為0，使y=f（x）取得最小值時(shí)的x的值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．