Question

2．已知平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為45°，$\overrightarrow{a}$=（2，2），|$\overrightarrow$|=1，若$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，則|$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow$$+\overrightarrow{a}$|=（　�。�

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． 40
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 4

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，根據(jù)$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直列方程解出λ，計算|$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow$$+\overrightarrow{a}$|²開方即為答案．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2$\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2．
∵$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{a}$，∴（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=$λ{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即8λ-2=0，∴$λ=\frac{1}{4}$．
∴|$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow$$+\overrightarrow{a}$|²=（4$\overrightarrow+\overrightarrow{a}$）²=16${\overrightarrow}^{2}$+8$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=40．
∴|$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow$$+\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．