Question

7．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數(shù)列{lga_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)只要證明：lga_n+1-lga_n=常數(shù)即可得出．

解答 （1）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$．
∴${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=10，${a}_{1}{q}^{3}（1+{q}^{2}）$=$\frac{5}{4}$，解得a₁=8，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=8×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^4-n．
（2）證明：lga_n+1-lga_n=$lg\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lg$\frac{1}{2}$=-lg2，lga₁=3lg2．
∴數(shù)列{lga_n}是等差數(shù)列，首項為3lg2，公差為-lg2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．