(本題滿分14分)

已知數(shù)列中，，且．

(Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式；

(Ⅱ) 令，數(shù)列的前項和為，試比較與的大��；

(Ⅲ) 令，數(shù)列的前項和為．求證：對任意，

都有 ．

(Ⅰ)    (Ⅱ) 當時，；當時,


解析:

(Ⅰ)由題知， ，

由累加法，當時，

代入，得時，

又，故．                        ．．．．．．．．．．．．．4分

（II）時，．

方法1：當時，；當時，；

當時，．

猜想當時，．                                ．．．．．．．．．．6分

下面用數(shù)學歸納法證明：

①當時，由上可知成立；

②假設時，上式成立，即.

當時，左邊

，所以當時成立．

由①②可知當時,．                        

綜上所述：當時,；當時, ；

當時,．                       ．．．．．．．．．．．10分

方法2：

記函數(shù)

所以                     ．．．．．．．．．6分

則

所以．

由于，此時；

，此時；

，此時；

由于，，故時，，此時．

綜上所述：當時，；當時,．    ．．．．．．．．．．．10分

（III）

當時，

所以當時

＋．

且

故對，得證．                               ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分www.ks5u.com

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π
3
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x=2cosα
y=1+cos2α
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；如果沒有，請說明理由?(注：區(qū)間的長度為).

 

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