已知向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)且
b
≠0，函數(shù)f（x）=2
a
•
b
-1
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）若
a
=
b
，分別求tanx及
cos2x
f(x)+1
的值．
分析：（I）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=2
a
•
b
-1=2sin（2x+
π
6
），可得函數(shù)的周期，令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）由
a
=
b
，求得tanx=
3
，再由
cos2x
f(x)+1
=
cos2x-sin2x
2
3
sinxcosx+2cos2x
=
1-tan2x
2
3
tanx+2
，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：（I）解：函數(shù)f（x）=2
a
•
b
-1=2
3
sinxcosx+2cos2x-1=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6
），
故函數(shù)的周期為
2π
2
=π，
令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得 kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z．
（II）解：若
a
=
b
，則sinx=
3
cosx，即 tanx=
3
．
∴
cos2x
f(x)+1
=
cos2x-sin2x
2
3
sinxcosx+2cos2x
=
1-tan2x
2
3
tanx+2
=
1-3
2
3
•
3
+2
=-
1
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的增區(qū)間，三角函數(shù)的周期性和求法，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（3）寫(xiě)出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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