Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=PB，O為AB的中點，OD⊥PC．
（1）求證：OC⊥PD；
（2）若PD與平面PAB所成的角為30⁰，求二面角D-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OP，推導出OP⊥AB，從而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能證明OC⊥PD．
（2）設(shè)AD=1，則AB=2，推導出∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角，設(shè)PC的中點為M，連接DM，則DM⊥PC在Rt△CBP中，過M作NM⊥PC，交PB于點N，則∠DMN為二面角D-PC-B的一個平面角，由此能求出二面角D-PC-B的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)OP，∵PA=PB，O為AB的中點，∴OP⊥AB．
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，
∴OP⊥OD，OP⊥OC，
∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，
∴OD⊥OC，…（4分）
又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，
∴OC⊥PD． …（6分）
解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得OD⊥OC，∴AB=2AD，不妨設(shè)AD=1，則AB=2．
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，
∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△DPA，
∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角
∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，$PA=PB=\sqrt{3}$，
∴DP=CP=2，∴△PDC為等邊三角形，…（9分）
設(shè)PC的中點為M，連接DM，則DM⊥PC
在Rt△CBP中，過M作NM⊥PC，交PB于點N，則∠DMN為二面角D-PC-B的一個平面角．
由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt△PMN中，$MN=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$PN=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∵$cos∠APB=\frac{3+3-4}{{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}}=\frac{1}{3}$，
∴$A{N^2}={（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）^2}+3-2×\frac{{2\sqrt{3}}}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{3}=3$，
∴ND²=3+1=4，
∴$cos∠DMN=\frac{{{{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）}^2}+3-4}}{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\sqrt{3}}}=-\frac{1}{3}$，
即二面角D-PC-B的余弦值-$\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．