Question

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

3

sinB-cosB=1，b=1．
（Ⅰ）若A=

5π

12

，求c；
（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

3

sinB-cosB=1，利用輔助角公式化簡，結(jié)合B的范圍，可得B，利用A，求得C，結(jié)合正弦定理可求c的值；
（Ⅱ）確定△ABC為直角三角形，再求其面積．

解答：解：（Ⅰ）由已知，∵

3

sinB-cosB=1，
∴sin（B-

π

6

）=

1

2

．                         …（2分）
∵0＜B＜π，
∴-

π

6

＜B-

π

6

＜

5

6

π．
故B-

π

6

=

π

6

，解得B=

π

3

．…（4分）
由A=

5π

12

，且A+B+C=π，得C=

π

4

．
由

c

sinC

=

b

sinB

，即

c

sin π 4

=

1

sin π 3

，解得c=

6

3

．…（7分）
（Ⅱ）因?yàn)閎²=a²+c²-2accosB，a=2c，B=

π

3

，
所以b²=4c²+c²-4c²×

1

2

，解得b=

3

c．…（10分）
由此得a²=b²+c²，故△ABC為直角三角形，A=

π

2

，c=

1

3

．
其面積S=

1

2

bc=

3

6

．                          …（13分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，確定三角形的邊與角是關(guān)鍵．