Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0．S_n是它的前n項(xiàng)和，又

1

4

S4與

1

6

S6的等比中項(xiàng)是

a17+1

，

1

4

S4與

1

6

S6的等差中項(xiàng)是6，求a_n．

Answer 1

分析：先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出S4和S6，進(jìn)而表示出

1

4

S4與

1

6

S6，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)，由

1

4

S4與

1

6

S6的等比中項(xiàng)是

a17+1

，

1

4

S4與

1

6

S6的等差中項(xiàng)是6列出關(guān)于a₁與d的方程組，求出方程組的解得到a₁與d的值，進(jìn)而確定出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：∵

1

4

S4=

1

4

（4a₁+6d）=

1

2

（2a₁+3d），

1

6

S6=

1

6

（6a₁+15d）=

1

2

（2a₁+5d），
又

1

4

S4與

1

6

S6的等比中項(xiàng)是

a17+1

，

a17+1

，

1

4

S4與

1

6

S6的等差中項(xiàng)是6，
∴

1

4

S4•

1

6

S6=（

a17+1

）²，

1

4

S4+

1

6

S6=12，
即

1 2 (2a1+3d)• 1 2 (2a1+5d)=a1+16d+1① 1 2 (2a1+3d)+ 1 2 (2a1+5d)=12②

，
由②整理得：a₁+2d=6③，
將③代入①得：（12-d）（12+d）=24-8d+64d+4，
∴144-d²=56d+28，即d²+56d-116=0，
解得：d=2，d=-58＜0（應(yīng)舍去），
把d=2代入a₁+2d=6，得a₁=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．