Question

已知圓C₁：x²+y²=1與圓C₂：（x-2）²+（y-4）²=1，過動(dòng)點(diǎn)P（a，b）分別作圓C₁、圓C₂的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），若PM=PN，則

a2+b2

+

(a-5)2+(b+1)2

的最小值是

34

．

Answer 1

分析：利用PM=PN，求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，把

a2+b2

+

(a-5)2+(b+1)2

轉(zhuǎn)化為軌跡上的點(diǎn)，到原點(diǎn)與（5，-1）的距離之和的最小值．

解答：解：因?yàn)閳AC₁：x²+y²=1與圓C₂：（x-2）²+（y-4）²=1，過動(dòng)點(diǎn)P（a，b）分別作圓C₁、圓C₂的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），若PM=PN，所以P的軌跡為：C₁C₂的中垂線y=-

1

2

x+

5

2

上

a2+b2

+

(a-5)2+(b+1)2

表示點(diǎn)P到點(diǎn)C₁（0，0）和點(diǎn)B（5，-1）的距離之和
即：y=|C₁P|+|BP|
∵|C₁P|=|C₂P|
∴y=|C₂P|+|BP|
根據(jù)兩邊之和大于第三邊
∴y=|C₂P|+|BP|≥|C₂B|=

(2-5)2+(4+1)2

=

34

．
故答案為：

34

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查軌跡方程的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，計(jì)算能力，注意C₁，B在直線的同一側(cè)，是易錯(cuò)點(diǎn)．