【答案】
分析:(Ⅰ)根據(jù)勾股定理的逆定理,可得AB⊥AC,又因為四邊形A
1ABB
1是正方形,所以AB⊥AA
1,從而得到AB⊥平面AA
1C,再證AB∥A
1B
1,可得A
1B
1⊥平面AA
1C;
(Ⅱ)取BC中點D,連接AD,B
1D,C
1D.證明四邊形B
1C
1DB是平行四邊形,可得C
1D∥B
1B,進而可證AD∥平面A
1C
1C;同理,B
1D∥平面A
1C
1C,利用面面平行的判定,可得平面ADB
1∥平面A
1C
1C,從而可得AB
1∥平面A
1C
1C;
(Ⅲ)建立如圖坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,確定平面A
1C
1C的一個法向量
,又
,根據(jù)向量的夾角公式,可得BC與平面A
1C
1C所成角的正弦值.
解答:(Ⅰ)證明:因為AB=AC,BC=
AB,所以AB
2+AC
2=BC
2,所以AB⊥AC,
又因為四邊形A
1ABB
1是正方形,所以AB⊥AA
1,
又因為AC、AA
1?平面AA
1C,AC∩AA
1=A
所以AB⊥平面AA
1C;
又因為四邊形A
1ABB
1是正方形,所以AB∥A
1B
1,
所以A
1B
1⊥平面AA
1C; …(4分)
(Ⅱ)證明:取BC中點D,連接AD,B
1D,C
1D.
∵B
1C
1∥BC且B
1C
1=
,D為BC中點
∴B
1C
1∥DB且B
1C
1=DB,
∴四邊形B
1C
1DB是平行四邊形,可得C
1D∥B
1B
又A
1A∥B
1B且A
1A=B
1B,A
1A∥C
1D且A
1A=C
1D,
所以,A
1ADC
1是平行四邊形
所以,A
1C
1∥AD,所以AD∥平面A
1C
1C;
同理,B
1D∥平面A
1C
1C;
又因為B
1D∩AD=D,所以平面ADB
1∥平面A
1C
1C;
所以AB
1∥平面A
1C
1C; …(8分)
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)AB⊥平面AA
1C,又二面角A
1-AB-C是直二面角,可知,AA
1,AC,AB兩兩互相垂直,建立如圖2示坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則A(0,0,0),B(0,2,0),A
1(0,0,2),C(2,0,0),C
1(1,1,2)
所以
.
設(shè)平面A
1C
1C的一個法向量為
由
得
,∴
,∴
又
,所以cos<
>=
=
=-
故BC與平面A
1C
1C所成角的正弦值為
.…(12分)
點評:本題考查線面平行、線面垂直,考查線面角,考查利用空間向量解決空間角問題,掌握線面平行、線面垂直的判定方法,正確運用空間向量解決線面角問題是關(guān)鍵.