Question

若向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是

 

，則實數(shù)λ的值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應用

分析：先根據向量的運算和三角函數(shù)的和差公式，以及二倍角公式，原函數(shù)化為f（x）=2（cosx-λ）²-1-2λ²，再根據x∈[0，

π

2

]，
求的λ∈[0，1]，構造函數(shù)g（λ）=-1-2λ²，求出函數(shù)的最小值即可

解答： 解：∵

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[0，

π

2

]，
∴f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|
=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

）-2λ|（cos

3

2

x+cos

x

2

，sin

3

2

x-sin

x

2

）|
=cos2x-2λ

2+2cos2x

=2cos²x-1-4λcosx，
=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
當cosx-λ=0時函數(shù)f（x）有最小值                                             
即cosx=λ，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴λ∈[0，1]，
設g（λ）=-1-2λ²，
因函數(shù)g（λ）在∈[0，1]為減函數(shù)，
∴g（λ）∈[-3，-1]，
故函數(shù)g（λ）的最小值為-3，
當且僅當λ=1時，即cosx=1，x=0時成立，
故答案為：-3，1

點評：本題考查了向量的數(shù)量積的運算和模的計算，以及三角函數(shù)的和差公式以及二倍角公式，以及函數(shù)最值問題，屬于中檔題