Question

如圖所示，已知平行四邊形ABCD和平行四邊形ACEF所在的平面相交于直線AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，ADC=60°，AF=．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證線線垂直，只需要證明線面垂直，即證AC⊥平面ABF，再利用線面垂直的判定，即可證得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABD的一個(gè)法向量、平面FBD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F-BD-A的余弦值．
解答：（1）證明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，
∴AC²=1+4-2×1×2×cos60°=3
∴AC=，
又∵AB=1，BC=2
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴AC⊥AB
又AF⊥AC，AB∩AF=A
∴AC⊥平面ABF，
又∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF；
（2）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），F(xiàn)（0，，），B（-1，，0）
平面ABD的一個(gè)法向量=（0，0，1），
設(shè)平面FBD的法向量為=（x，y，z）
∵=，=，
由，可得
令z=1，得=（）為平面FBD的一個(gè)法向量．
∴
故所求二面角F-BD-A的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．