Question

如右圖所示,已知直四棱柱的底面是菱形，且，為的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)。

(1)求證：直線平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               

 (2)求證：直線平面 

(3)求平面與平面所成二面角的大小。

 

 

Answer 1

解法一:（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，因?yàn)辄c(diǎn)M、F分別為、的中點(diǎn)，所以，又，――――3分

（2）因?yàn)榈酌鏋榱庑吻?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091117/20091117162354006.gif' width=71 height=23>，所以四邊形與全等，又點(diǎn)F為中點(diǎn)，所以，在等腰△中，因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091117/20091117162354013.gif' width=123 height=23>，所以，可得，

所以（線面垂直判定定理）――――7分

（3）延長(zhǎng)，連接AQ，則AQ為平面與平面ABCD的交線.所以FB為△的中位線, 則QB=BC,設(shè)底面菱形邊長(zhǎng)為a,可得AB=QB=a,又 所以 那么△ABQ為等邊三角形.取AQ中點(diǎn)N,連接BN、FN，則為所求二面角的平面角或其補(bǔ)角.在△FNB中,  

――――11分   即

平面與平面ABCD所成二面角的平面角或―12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               

解法二:設(shè)，因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091117/20091117162354030.gif' width=39 height=21>分別為的中點(diǎn)，∴∥

又由直四棱柱知，∴

在棱形ABCD中，，∴OB、OC、OM兩兩垂直，故可以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。――――2分

若設(shè)，則

B，，，， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               

(1)由F、M分別為中點(diǎn)可知,M(0，0，1)

∴(1，0，0)＝，又因?yàn)镸F和OB不共線，

∴∥OB又因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091117/20091117162355048.gif' width=104 height=17>,OB平面ABCD，

∴MF∥平面ABCD――――5分

(2)，而（1，0，0）為平面yOz（亦即平面）的法向量

∴直線MF⊥平面――――8分

(3)為平面ABCD的法向量，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，

由，，得：

令y=1，得z=，此時(shí)

設(shè)平面與平面ABCD所成二面角的大小為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               

則

所以或，即平面與平面ABCD所成二面角的大小為或――――12分