Question

(本小題滿分12分)

如右圖所示,已知直四棱柱的底面是菱形，且，，F(xiàn)為的中點，M為線段的中點。

(1)求證：直線MF平面ABCD

(2)求證：直線MF平面

(3)求平面與平面ABCD所成二面角的大小

Answer 1

（1）略（2）略(3) 或

解析:

解法一:（1）設(shè)AC與BD交于點O，因為點M、F分別為、的中點，所以，

又，――――――――3分

（2）因為底面為菱形且，所以四邊形與全等，

又點F為中點，所以，在等腰△中，

因為，所以，可得，

所以（線面垂直判定定理）

――――――――――――――――――――7分

（3）延長，連接AQ，則AQ為平面與平面ABCD的交線.

所以FB為△的中位線, 則QB=BC,設(shè)底面菱形邊長為a,可得AB=QB=a,

又 所以 那么△ABQ為等邊三角形.

取AQ中點N,連接BN、FN，則為所求二面角的平面角或其補(bǔ)角.

在△FNB中,  ――――――11分

即所求平面與平面ABCD所成二面角的平面角為或―――――――12分

（說明：答對一個即給滿分）

解法二:設(shè)，因為M、O分別為的中點，∴MO∥

又由直四棱柱知，∴

在棱形ABCD中，，∴OB、OC、OM兩兩垂直，故可以O(shè)為原點，OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。―――――――――2分

若設(shè)，則B，，，，

(1)由F、M分別為中點可知,M(0，0，1)

∴(1，0，0)＝，又因為和不共線，∴∥OB

又因為,OB平面ABCD，∴MF∥平面ABCD――――――――5分

(2)，而（1，0，0）為平面yOz（亦即平面）的法向量

∴直線MF⊥平面――――――――――――――――――――――――8分

(3)為平面ABCD的法向量，

設(shè)為平面的一個法向量，則，

由，，得：

令y=1，得z=，此時

設(shè)平面與平面ABCD所成二面角的大小為，

則

所以或，即平面與平面ABCD所成二面角的大小為或――12分

（說明：答對一個即給滿分）