Question

已知：如圖，圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其左焦點(diǎn)為F，若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），
①求線段PQ的長；
②求證：直線PQ與圓O相切．

Answer 1

（1）解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
因?yàn)閳AO：x²+y²=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，所以|AB|=2
∵曲線C是以AB為長軸，∴，∴
∵橢圓的離心率為，
∴c=1，
∴
∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）①解：由（1）知橢圓的左焦點(diǎn)F（-1，0），而點(diǎn)P（1，1）
所以直線PF的方程為，即
直線QO的方程為y=-2x，而橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，4）
因此|PQ|=3
②證明：直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0
而點(diǎn)O到直線PQ的距離為d=
所以直線PQ與圓O相切
分析：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63593.png' />，所以c=1，由此能得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①根據(jù)過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，可求Q的坐標(biāo)，從而可求線段PQ的長；
②直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0，利用點(diǎn)O到直線PQ的距離，可證直線PQ與圓O相切．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，合理運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)．