Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a（a∈R）．
（1）若y=g（x）為曲線y=f（x）的一條切線，求a的值；
（2）已知a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0 ， 使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），

設(shè)切點(diǎn)為（m，n），由題意可得a=em（2m+1），

又n=am﹣a=em（2m﹣1），

解方程可得，a=1或4

（2）解：函數(shù)f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a

由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）在直線y=ax﹣a的下方，

∵f′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），

∴當(dāng)x＜﹣ 時(shí)，f′（x）＜0，

當(dāng)x＞﹣ 時(shí)，f′（x）＞0，

∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，f（x）取最小值﹣2 ，

當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=﹣1，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=e＞0，

直線y=ax﹣a恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，

故﹣a＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，

解得 ≤a＜1．

【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求得切線的斜率，由切線的方程，可得a=em（2m+1），又n=am﹣a=em（2m﹣1），解方程可得a的值；（2）函數(shù)f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=kx﹣k，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）在直線y=kx﹣k的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得﹣k＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣k﹣k，解關(guān)于k的不等式組可得．