Question

已知m=（x-lnx-y，a），

n

=（

1

x

+lnx+15，1），其中a＞0，且a≠1，當(dāng)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式記為y=f（x）；
（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

(-2x3-3ax2-6ax-4a2+6a)   ex，x≤1 e•f(x)，x＞

1（e是自然數(shù)的底數(shù)）．是否存在正整數(shù)a，使g（x）在[-a，a]上為減函數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意

m

∥

n

，且

m

=(x-lnx-y，a)  ，

n

=(

1

x

+lnx+15，1)，利用兩向量共線的從要條件得到f（x）的解析式，并由函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意，可以先假設(shè)存在正整數(shù)a，使g（x）在[-a，a]上為減函數(shù)，利用題意可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立時(shí)的條件進(jìn)而求解．

解答：解：∵

m

∥

n

，且

m

=(x-lnx-y，a)  ，

n

=(

1

x

+lnx+15，1)，
∴（x-lnx-y）×1-a（

1

x

+lnx+15)=0=0⇒y=f(x)=x-

a

x

-(a+1)lnx-15a，
又f（x）得定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′(x)=1+

a

x2

-

a+1

x

=

(x-a)(x-1)

x2

，
①若0＜a＜1時(shí)，則0＜x＜a或x＞1?f^′（x）＞0；a＜x＜1?f^′（x）＜0，
故f（x）分別在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增；在（a，1）上單調(diào)遞減；
②若a＞1時(shí)，妨①可得：f（x）分別在（0，1），（a，+∞）上單遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．
（2）假設(shè)存在，設(shè)則h（x）=（-2x³-3ax²-6ax-4a²+6a）e^xe^x  則h^′（x）=[-2x³-3（a+2）x²-12ax-4a²]e^x．
令φ（x）=-2x³-3（a+2）x²-12ax-4a²  （x∈R），
當(dāng)g（x）在[-a，a]上為減函數(shù)，h（x）必在[-a，0]上為減函數(shù)，從而h^′（x）≤0在[-a，0]上恒成立，
于是h^′（-a）≤0?φ（-a）=-a³+2a²≤0⇒a≥2 ③，
此時(shí)，g（x）在上[-a，a]為減函數(shù)?

h(x)在[-a，1]上為減函數(shù) f(x)在[1，a]上為減函數(shù)

且h（1）≥ef（1），
有（1）知：當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在[1，a]上為單調(diào)遞減函數(shù)，又h（1）≥ef（1）?4a²-13a+3≤0⇒

1

4

≤a≤3④
又③④得：2≤a≤3，
再考慮，h（x）在[-a，1]上為減函數(shù)，?x∈[-a，1]，h^′（x）≤0??x∈[-a，1]，φ（x）≤0?x∈[-a，1]，φ′（x）最大值小于等于0，
φ′（x）=-6（x+a）（x+2），當(dāng)2≤a≤3時(shí)，可求x∈[-a，1]時(shí)，φ（x）的最大值為φ（-2）=-4a³+12a-8≤0⇒a≥2．
?x∈[-a，1]，φ（x）=0只有當(dāng)a=2時(shí)，在x=-2取得，亦即h′（x）=0，只有當(dāng)a=2時(shí)，在x=-2取的．
因此，當(dāng)2≤a≤3時(shí)，h（x）[-a，1]在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
綜上：2≤a≤3時(shí)，故存在正整數(shù)2，3滿足題中的條件．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考查了學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和解不等式時(shí)的分類討論的思想．