Question

如圖一，平面四邊形關于直線對稱，。

把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于。對于圖二，

（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取的中點，連接，

由，得：                                      

就是二面角的平面角，

在中，

                                                                                                                        

（Ⅱ）由，

 

，   又平面．

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角．

方法二：設點到平面的距離為，

∵              

  于是與平面所成角的正弦為   ．

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，  則．

設平面的法向量為，則

， ，

取，則，  于是與平面所成角的正弦即

．