Question

如圖，已知在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD₁＝2AD＝2AB＝2．

(Ⅰ)求證：DB⊥平面B₁BCC₁；

(Ⅱ)求二面角A₁－BD－C₁的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)設是的中點，連結(jié)，則四邊形為正方形， 　　．故，，，，即． 　　又， 　　平面， 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面， 　　又平面，， 　　取的中點，連結(jié)，又，則． 　　取的中點，連結(jié)，則，． 　　為二面角的平面角． 　　連結(jié)，在中，，， 　　取的中點，連結(jié)，， 　　在中，，，． 　　． 　　二面角的余弦值為． 　　解法二： 　　(Ⅰ)以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，． 　　，， 　　 　　 　　又因為所以，平面． 　　(Ⅱ)設為平面的一個法向量． 　　由，， 　　得取，則． 　　又，，設為平面的一個法向量， 　　由，，得取，則， 　　設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角， 　　，