Question

9．設(shè)x．y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為13，則a+b的最小值為6．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求a+b的最小值．

解答 解：由z=abx+y（a＞0，b＞0）得y=-abx+z，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-abx+z的斜率為負(fù)，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=-abx+z，由圖象可知當(dāng)y=-abx+z經(jīng)過點(diǎn)A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4）．
此時z=ab+4=13，
即ab=9，
則a+b$≥2\sqrt{ab}$=2$•\sqrt{9}$=2×3=6，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取=號，
故最小值為6，
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．