Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a}{e^x}+lnx$．（a∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間$[\frac{1}{e}，\;e]$上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)極值點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知f′（x）=-$\frac{a}{{e}^{x}}$+$\frac{1}{x}$≤0，a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，則構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得$\frac{{e}^{x}}{x}$最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）方法1：構(gòu)造輔助函數(shù)，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求導g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得g（x）最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷求得函數(shù)的f（x）的極值點的個數(shù)；方法2：分類討論，根據(jù)當a≤1時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性f（x）在區(qū)間（0，+∞）遞增，f（x）無極值，當a＞1時，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值的關系，即可求得f（x）的極值個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：對?x∈$[\frac{1}{e}，\;e]$，f′（x）=-$\frac{a}{{e}^{x}}$+$\frac{1}{x}$≤0，
即a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，對?x∈$[\frac{1}{e}，\;e]$恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求導g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1，g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上單調(diào)遞減，在（1，e]上單調(diào)遞增，
∴g（$\frac{1}{e}$）=${e}^{1+\frac{1}{e}}$，g（e）=e^e-1，由e^e-1＞${e}^{1+\frac{1}{e}}$，
∴在區(qū)間$[\frac{1}{e}，\;e]$上g（x）_max=e^e-1，
∴a≥e^e-1，
（Ⅱ）解法1：由f′（x）=-$\frac{a}{{e}^{x}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{e}^{x}-ax}{x{e}^{x}}$=$\frac{\frac{{e}^{x}}{x}-a}{{e}^{x}}$，
g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1時，g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（1）=e，
當a≤e時，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，f（x）無極值點，
當a＞e時，g（x）_min≥g（1）=e＜a，
故存在x₁∈（0，1）和x₂∈（1，+∞），使得g（x₁）=g（x₂）=a，
當0＜x＜x₁，f′（x）＞0，當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，當x＞x₂，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞減，在（0，x₁）和（x₂，+∞），
∴x₁為函數(shù)f（x）的極大值點，x₂為函數(shù)f（x）的極小值點，
綜上可知；a≤e時，函數(shù)f（x）無極值點，當a＞e時，函數(shù)f（x）有兩個極值點．
方法2：f′（x）=$\frac{{e}^{x}-ax}{x{e}^{x}}$，設h（x）=e^x-ax（x＞0），則h（x）=e^x-a，由x＞0，e^x＞1，
（1）當a≤1時，h′（x）＞0，h（x）遞增，h（x）＞h（0）=1，
則f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)無極值；
（2）當a＞1時，由h′（x）=e^x-a＞0，則x＞lna，
可知h（x）在（0，lna）內(nèi)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（x）_max=h（lna）=a（1-lna），
①當1＜a≤e時，h（x）＞h（x）_min≥0，
則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)無極值；
②當a＞e時，h（x）_min＜0，又h（0）＞0，x很大時，h（x）＞0，
∴存在x₁∈（0，lna），x₂∈（lna，+∞），使得h（x₁）=0，h（x₂）=0，
即f′（x₁）=0，f′（x₂）=0，可知在x₁，x₁兩邊f(xié)′（x）符號相反，
∴函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，
綜上可知；a≤e時，函數(shù)f（x）無極值點，當a＞e時，函數(shù)f（x）有兩個極值點．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的判斷，利用函數(shù)求函數(shù)的最值，考查分類討論思想，屬于中檔題．