Question

10．已知正方形ABCD的邊長為2，點P、Q分別是邊AB、BC邊上的動點，且$\overrightarrow{DP}⊥\overrightarrow{AQ}$，則$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{QP}$的最小值為3．

Answer 1

分析 建立坐標系，如圖所示根據$\overrightarrow{DP}⊥\overrightarrow{AQ}$，可得$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AQ}$=0，求得x=y．化簡$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{QP}$ 為（x-1）²+3，利用二次函數的性質求得它的最小值．

解答 解：如圖，分別以AB、AD所在的直線為x、y軸，建立坐標系，
如圖所示：
則A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D （0，2），
設點P（x，0）、Q（2，y），x、y∈[0，2]，
∴$\overrightarrow{DP}$=（x，-2），$\overrightarrow{AQ}$=（2，y）．
由$\overrightarrow{DP}⊥\overrightarrow{AQ}$，可得$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AQ}$=2x-2y=0，即x=y．
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{QP}$=（x-2，-2）•（x-2，-y）=（x-2）²+2y=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
則$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{QP}$的最小值為3，
故答案為：3．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，二次函數的性質，屬于中檔題．