Question

20．已知平面區(qū)域Ω：$\left\{{\begin{array}{l}{3x+4y-18≤0}\\{x≥2}\\{y≥0}\end{array}}$，夾在兩條斜率為-$\frac{3}{4}$的平行直線(xiàn)之間，且這兩條平行直線(xiàn)間的最短距離為m．若點(diǎn)P（x，y）∈Ω，且mx-y的最小值為p，$\frac{y}{x+m}$的最大值為q，則pq等于（　�。�

• A． $\frac{27}{22}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{27}{25}$
• D． 0

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，結(jié)合題意求出m，利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求得p，再由兩點(diǎn)求斜率求出q，則答案可求．

解答 解：由約束條件作出可行域如圖，
∵平面區(qū)域Ω夾在兩條斜率為-$\frac{3}{4}$的平行直線(xiàn)之間，且兩條平行直線(xiàn)間的最短距離為m，
則m=$\frac{|3×2-18|}{5}=\frac{12}{5}$．
令z=mx-y=$\frac{12}{5}x-y$，則y=$\frac{12}{5}x-z$，
由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)y=$\frac{12}{5}x-z$過(guò)B（2，3）時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最大，z有最小值為p=$\frac{9}{5}$，
$\frac{y}{x+m}$=$\frac{y}{x+\frac{12}{5}}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)D（$-\frac{12}{5}，0$）連線(xiàn)的斜率，其最大值q=$\frac{3}{2+\frac{12}{5}}=\frac{15}{22}$．
∴pq=$\frac{9}{5}×\frac{15}{22}=\frac{27}{22}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．