Question

15．已知函數(shù)$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，且函數(shù)$f（x+\frac{π}{12}）$是偶函數(shù)，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
• B． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{3π}{4}，π]$上單調(diào)遞增
• C． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{7π}{12}$對稱
• D． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點$（\frac{7π}{12}，0）$對稱

Answer 1

分析 根據(jù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，可得周期T，求解出ω，且函數(shù)$f（x+\frac{π}{12}）$是偶函數(shù)可得φ．從而可得解析式f（x）．依次判斷各選項即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，
∵圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，（A選項不對）
∴ω=$\frac{2π}{T}=2$．
f（x）=sin（2x+φ），
那么$f（x+\frac{π}{12}）$=sin（2x+$\frac{π}{6}+$φ）是偶函數(shù)，
可得$\frac{π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∵|φ|$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$
∴函數(shù)f（x）=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
對稱軸方程2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
可得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$．（C選項不對）
對稱中心橫坐標(biāo)：2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．
可得x=$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{6}$．（D選項不對）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$kπ-\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴B選項對．
故選B．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的計算能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用．屬于基礎(chǔ)題