Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，則f（2013）=

0

．

Answer 1

分析：由y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，在已知條件中令x=-3，可求f（3）及函數(shù)的周期，利用所求周期即可求解得到f（2013）的值．

解答：解：∵y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象，
∴y=f（x+1）的對稱軸x=-1向右平移1個單位可得y=f（x）的對稱軸x=0，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
∵f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3，則f（3）=f（-3）+f（3）
∵函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-3）=f（3），
∴f（3）=2f（3），則f（3）=0
∴f（x+6）=f（x），
∴f（x）為周期函數(shù)，且周期為6，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=0，
∴f（2013）=0，
故答案為：0．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的求值問題．綜合考查了函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．此題解題的關(guān)鍵是通過所給的關(guān)系式求出函數(shù)的周期，利用周期轉(zhuǎn)化求值．屬于中檔題．