Question

已知：函數(shù)f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx（a＞1）
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）在x=2取極值，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[e^-2，e²]上的最大值．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)閤＞0，
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

[x-(a-1)](x-1)

x

．
由f'（x）＞0且x＞0
得

x＞0 x2-ax+a-1＞0

即

x＞0 [x-(a+1)](x-1)＞0

（i）當(dāng)a-1=1即a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（ii）當(dāng)a＞2時(shí)，x＞a-1或0＜x＜1，∴f（x）在（a-1，+∞），（0，1）上為增函數(shù)；
（iii）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，0＜x＜a-1或x＞1，∴f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上為增函數(shù)．
綜上可知：f（x）的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)a=2時(shí)，（0，+∞）
當(dāng)a＞2時(shí)，（a-1，+∞），（0，1）
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，（0，a-1），（1，+∞）．
（2）x=2是f（x）極值點(diǎn)，∴f'（2）=0，即2-a+

a-1

2

=0，解得a=3．
∴f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx（x＞0），f′(x)=

(x-1)(x-2)

x

．
∵

1

e2

＜1＜2＜e2，且當(dāng)2＜x＜e²時(shí)，f^′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f^′（x）＜0；當(dāng)

1

e2

＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e2

，1)及（2，e²]上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在[

1

e2

，e2]最大值應(yīng)在x=1和x=e²處取得
又f(1)=-

5

2

，f(e2)=

e4

2

-3e2+4=

(e2-2)(e2-4)

2

＞-

5

2

，
∴f(x)max=

(e2-2)(e2-4)

2

．