Question

16．設(shè)P、Q、R、S是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的四個頂點，四邊形PQRS是圓C₀：x²+y²=$\frac{36}{7}$的外切平行四邊形，其面積為12$\sqrt{3}$．橢圓C₁的內(nèi)接△ABC的重心（三條中線的交點）為坐標原點O．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）△ABC的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得關(guān)于a，b的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）當直線AB斜率不存在時，直接求出|AB|=$3\sqrt{3}$，C到直線AB的距離d=$3\sqrt{3}$，可得△ABC的面積；當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0可得k與m的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A，B橫坐標的和與積，由O為△ABC的重心求得C的坐標把C點坐標代入橢圓方程，可得4m²=12k²+9．由弦長公式求得|AB|，再求出點C到直線AB的距離d，代入三角形面積公式整理得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵四邊形PQRS是圓C₀外切平行四邊形，∴$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{7}}$，
又四邊形PQRS的面積S=$\frac{1}{2}×2a×2b=12\sqrt{3}$，聯(lián)立解得a²=12，b²=9，
故所求橢圓C₁ 的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（Ⅱ）當直線AB斜率不存在時，
∵O為△ABC的重心，∴C為橢圓的左、右頂點，
不妨設(shè)C（$-2\sqrt{3}$，0），則直線AB的方程為x=$\sqrt{3}$，
可得|AB|=$3\sqrt{3}$，C到直線AB的距離d=$3\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{27}{2}$．
當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為：y=kx+m，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-36=0，
則△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-36）=48（12k²+9-m²）＞0．
即12k²+9＞m²，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-36}{3+4{k}^{2}}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$．
∵O為△ABC的重心，∴$\overrightarrow{OC}=-（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=（\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，\frac{-6m}{3+4{k}^{2}}）$，
∵C點在橢圓C₁上，故有$\frac{（\frac{8km}{3+4{k}^{2}}）^{2}}{12}+\frac{（\frac{-6m}{3+4{k}^{2}}）^{2}}{9}=1$，
化簡得4m²=12k²+9．
∴$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{8km}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4（\frac{4{m}^{2}-36}{3+4{k}^{2}}）}$=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}\sqrt{12{k}^{2}+9-{m}^{2}}$．
又點C到直線AB的距離d=$\frac{|3m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$（d是原點到AB距離的3倍得到）．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{6\sqrt{3}|m|}{3+4{k}^{2}}\sqrt{12{k}^{2}+9-{m}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{3}×\sqrt{3}{m}^{2}}{\frac{4}{3}{m}^{2}}=\frac{27}{2}$．
綜上可得，△ABC的面積為定值$\frac{27}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查“分類討論”的數(shù)學思想方法與“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．