Question

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P（0）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是．求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)條件取橢圓的參數(shù)方程，其中0≤θ＜2π，根據(jù)已知條件和橢圓的性質(zhì)能夠推出b=1，a=2．從而求出這個(gè)橢圓的方程和橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中0≤θ＜2π，
由可得，即a=2b．
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)P的距離為d，則

=
=
=
=．
如果，即，則當(dāng)sinθ=-1時(shí)，d²有最大值，由題設(shè)得，
由此得，與矛盾．
因此必有成立，于是當(dāng)時(shí)，d²有最大值，由題設(shè)得，
由此可得b=1，a=2．
所求橢圓的參數(shù)方程是，由可得，
橢圓上的點(diǎn)和到點(diǎn)P的距離都是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意參數(shù)方程的合理運(yùn)用．