Question

3．定義在（-2，2）上函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），且f（1-a）-f（1-a²）＜0，若f（x）在（-2，0）上是減函數(shù)，則a取值范圍（　　）

• A． （0，1）∪（1，$\sqrt{3}$）
• B． （-1，1）
• C． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• D． （-1，3）

Answer 1

分析 容易得出f（x）為偶函數(shù)，并得出f（x）在（0，2）上為增函數(shù)，從而由f（1-a）-f（1-a²）＜0，即可得到f（|1-a|）＜f（|1-a²|），進(jìn)而得出|1-a|＜|1-a²|．可判斷a≠1，從而得到1＜|1+a|，從而解得a＞0，或a＜-2，又f（x）定義在（-2，2）上，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{-2＜1-a＜2}\\{-2＜1-{a}^{2}＜2}\end{array}\right.$，這樣解出a的范圍與前面得出a的范圍求交集即可得出a的取值范圍．

解答 解：f（-x）=f（x），x∈（-2，2）；
∴f（x）為偶函數(shù)；
f（x）在（-2，0）上是減函數(shù)；
∴f（x）在（0，2）上是增函數(shù)；
f（1-a）-f（1-a²）＜0；
∴f（1-a）＜f（1-a²）；
∴f（|1-a|）＜f（|1-a²|）；
∴|1-a|＜|1-a²|；
顯然a≠1，1-a≠0；
∴1＜|1+a|；
∴a＞0，或a＜-2；
又$\left\{\begin{array}{l}{-2＜1-a＜2}\\{-2＜1-{a}^{2}＜2}\end{array}\right.$；
解得$-1＜a＜\sqrt{3}$；
∴0＜a＜1，或1$＜a＜\sqrt{3}$；
∴a的取值范圍為$（0，1）∪（1，\sqrt{3}）$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查偶函數(shù)的定義，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性特點(diǎn)，增函數(shù)定義的運(yùn)用，以及絕對(duì)值不等式的解法，注意f（x）的定義域．