Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³的圖象為曲線C，給出以下四個命題：
①若點M在曲線C上，過點M作曲線C的切線可作一條且只能作一條；
②對于曲線C上任意一點P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲線C上總可以找到一點Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中項是同一個常數(shù)；
③設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x）-2sin2x|，則g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，則a的最大值是2．
其中所有正確命題的序號是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答 解：①若點M在曲線C上，在點M的切線斜率只有一個，所以在點M作曲線C的切線可作一條且只能作一條，
若過點M，則有可能其他的切線也經(jīng)過M，此時對應(yīng)的切線不一定是一條，如圖，故①錯誤，
②函數(shù)f（x）=x³是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以對于曲線C上任意一點P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲線C上總可以找到一點Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中項是同一個常數(shù)0，故正確；
③設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x）-2sin2x|=|x³-2sin2x|是偶函數(shù)，且g（0）=0，則g（x）的最小值是0；故③正確，
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）³≤8x³，
即f（x+a）≤f（2x），
即x+a≤2x，∴x≥a
∵f（x+a）≤8f（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴a≤1，∴a的最大值是1，故不正確，
故答案為：②③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．