Question

6．若$\int_1^m{（2x-1）dx}=6$（其中m＞1），則多項(xiàng)式${（{x^2}+\frac{1}{x^2}-2）^m}$展開式的常數(shù)項(xiàng)為-20．

Answer 1

分析 求定積分可得m=3，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得故多項(xiàng)式${（{x^2}+\frac{1}{x^2}-2）^m}$=${（x-\frac{1}{x}）}^{6}$ 的展開式的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：若$\int_1^m{（2x-1）dx}=6$=（x²-x）${|}_{1}^{m}$=m²-m=6（其中m＞1），則m=3，
故多項(xiàng)式${（{x^2}+\frac{1}{x^2}-2）^m}$=${（x-\frac{1}{x}）}^{6}$ 的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•x^6-2r，
令6-2r=0，可得r=3，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為-${C}_{6}^{3}$=-20，
故答案為：-20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查定積分的運(yùn)算，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．