Question

11．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=$\frac{1}{x-1}$；
（2）f（x）=-3x²+1；
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{|x+2|-2}$；
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞0}\\{1，x=0}\\{-x+1，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分別進行判斷即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$的定義域為{x|x≠1}，定義域關(guān)于原點不對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
（2）∵f（-x）=-3x²+1=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥0}\\{1+x≥0}\\{|x+2|-2≠0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{x≥-1}\\{|x+2|-2≠0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x≠0}\end{array}\right.$，解得-1≤x＜0或0＜x≤1，
此時f（x）=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{|x+2|-2}$=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{x+2-2}$=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{x}$，
則f（-x）=$\frac{\sqrt{1+x}•\sqrt{1-x}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{x}$=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（4）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞0}\\{1，x=0}\\{-x+1，x＜0}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)x＜0時，-x＞0，則f（-x）=-x+1=f（x），
當(dāng)x＞0時，-x＜0，則f（-x）=-（-x）+1=x+1=f（x），
綜上恒有f（-x）=f（x），即函數(shù)為偶函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，結(jié)合函數(shù)的定義域以及函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．