Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（4-a_n）•2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立方程組求出a₁=3，d=-1．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a_n=4-n，知b_n=（4-a_n）•2^n-1=n•2^n-1，所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4，
∴

3a1+ 3×2 2 d=6 8a1+ 8×7 2 d=-4

，
解得a₁=3，d=-1．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3+（n-1）×（-1）=4-n．
（2）∵a_n=4-n，
∴b_n=（4-a_n）•2^n-1=n•2^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1×(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴Sn=n•2n+1-2n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．