Question

17．某產(chǎn)品關(guān)稅與市場(chǎng)供應(yīng)量P的關(guān)系近似地滿足：P（x）=2${\;}^{（1-kt）{{（x-b）}{\;}^2}}}$（其中t為關(guān)稅的稅率，且t∈[0，$\frac{1}{2}}$]，x為市場(chǎng)價(jià)格，b，k為正常數(shù)），當(dāng)t=$\frac{1}{8}$時(shí)，市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖所示：
（1）根據(jù)函數(shù)圖象求k，b的值；
（2）若市場(chǎng)需求量Q，它近似滿足Q（x）=2${\;}^{（11-\frac{1}{2}x）}}$．當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為均衡價(jià)格，為使均衡價(jià)格控制在不低于9元的范圍內(nèi)，求稅率t的最小值．

Answer 1

分析 （1）能根據(jù)圖象知$t=\frac{1}{8}$時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{2^{（1-\frac{k}{8}）{{（5-b）}^2}}}=1\\{2^{（1-\frac{k}{8}）{{（7-b）}^2}}}=2\end{array}\right.$，即可求出k、b的值；
（2）能根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，并能在定義域內(nèi)求函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）由圖可知$t=\frac{1}{8}$時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{2^{（1-\frac{k}{8}）{{（5-b）}^2}}}=1\\{2^{（1-\frac{k}{8}）{{（7-b）}^2}}}=2\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=6\\ b=5.\end{array}\right.$
（2）當(dāng)P=Q時(shí)，得${2^{（1-6t）{{（x-5）}^2}}}={2^{11-\frac{1}{2}x}}$，
解得$t=\frac{1}{6}[{1-\frac{22-x}{{2{{（x-5）}^2}}}}]=-\frac{1}{12}[{\frac{17}{{{{（x-5）}^2}}}-\frac{1}{x-5}-2}]$．
令$m=\frac{1}{x-5}$，∵x≥9，∴$m∈（0，\frac{1}{4}]$，
在$t=-\frac{1}{12}（17{m^2}-m-2）$中，對(duì)稱軸為直線$m=\frac{1}{34}$，$\frac{1}{34}∈（0，\frac{1}{4}]$，且圖象開口向下，
∴$m=\frac{1}{4}$時(shí)，t取得最小值$\frac{19}{192}$，此時(shí)x=9．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)指數(shù)函數(shù)的綜合題，但在求解的過程中也用到了構(gòu)造函數(shù)的思想及二次函數(shù)在定義域內(nèi)求最值的知識(shí)．考查的知識(shí)全面而到位！