函數(shù)f（x）=
x
1+x
（x＞0），數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=
1
2
，an+1=f（an），函數(shù)y=f（x）的圖象在點（n，f（n））（n∈N*）處的切線在y軸上的截距為bn．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{
bn
an2
-
λ
an
}的項中僅
b5
a52
-
λ
a5
最小，求λ的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=
x
1-x
，令函數(shù)h（x）=[f（x）+g（x）]•
1-x2
1+x2
，0＜x＜1，數(shù)列{xn}滿足：x1=
1
2
，0＜xn＜1且xn+1=h（xn）其中n∈N*．證明：
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…
(xn+1-xn)2
xnxn+1
＜
2
+1
8
．
考點：數(shù)列與不等式的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由已知得
1
an+1
-
1
an
=1，由此能求出an=
1
n+1
．
（2）由已知得y=f（x）在點（n，f（n））處的切線方程為y-
n
n+1
=
1
(1+n)2
（x-n），從而
bn
an2
-
λ
an
=n2-λ（n+1）=（n-
λ
2
）2-λ-
λ2
4
，由此能求出λ的取值范圍．
（3）h（x）=
2x
1+x2
，0＜x＜1，從而xn+1-xn=xn（1-xn）•
1+xn
xn2+1
＜
2
+1
8
，由此能證明
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…
(xn+1-xn)2
xnxn+1
=
2
+1
8
(2-
1
xn+1
)＜
2
+1
8
．
解答： （本小題滿分14分）
（1）解：∵an+1=f(an)=
an
1+an
，
∴
1
an+1
-
1
an
=1，
∴{
1
an
}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
故an=
1
n+1
．…（3分）
（2）解：∵f（x）=
x
1+x
（x＞0），∴f′（x）=
1
(x+1)2
，
∴y=f（x）在點（n，f（n））處的切線方程為y-
n
n+1
=
1
(1+n)2
（x-n），
令x=0，得bn=
n2
(1+n)2
，
∴
bn
an2
-
λ
an
=n2-λ（n+1）=（n-
λ
2
）2-λ-
λ2
4
，
∵僅當n=5時，取得最小值，∴4.5＜
λ
2
＜5.5，
∴λ的取值范圍為（9，11）．…（6分）
（3）證明：h（x）=[f（x）+g（x）]•
1-x2
1+x2

=（
x
1+x
+
x
1-x
）•
1-x2
1+x2

=
2x
1+x2
，0＜x＜1，
∴xn+1-xn=xn（1-xn）•
1+xn
xn2+1
，
又∵0＜xnxn，
∴1＞xn+1＞xn＞…＞x2＞
1
2
，…（8分）
xn+1-xn=xn(1-xn)•
1+xn
xn2+1
≤
1
4
•
1
xn+1+
2
xn+1
-2

＜
1
4
•
2
2
2
-2
=
2
+1
8
，
∴
(xn+1-xn)2
xnxn+1
=
xn+1-xn
xnxn+1
(xn+1-xn)=(xn+1-xn)(
1
xn
-
1
xn+1
)＜
2
+1
8
(
1
xn
-
1
xn+1
)，
∴
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…+
(xn+1-xn)2
xnxn+n

＜
2
+1
8
（
1
x1
-
1
x2
+
1
x2
-
1
x3
+…+
1
xn
-
1
xn+1
）
=
2
+1
8
(x1-
1
xn+1
)
=
2
+1
8
（2-
1
xn+1
），…（12分）
∵
1
2
＜xn+1＜1，∴1＜
1
xn+1
＜2，∴0＜2-
1
xn+1
＜1，
∴
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…
(xn+1-xn)2
xnxn+1
=
2
+1
8
(2-
1
xn+1
)＜
2
+1
8
．…（14分）
點評：本題考查數(shù)列{an}的通項公式的求法，考查λ的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=logax在[2，8]上的最大值與最小值之和為4．
（1）已知g（x）為奇函數(shù)，當x≥0時，g（x）=f（x+1），求x＜0時，求g（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式：-1＜g（x）＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)求導(dǎo)：f（x）=
ln(3x2+4x)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證：cos
θ
2
cos
θ
22
cos
θ
23
…cos
θ
2n
=
sinθ
2nsin
θ
2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（
1
x
）=
x
1+x
，則f′（x）等于（　�。�
A、
x
1+x
B、-
x
1+x
C、
1
(1+x)2
D、-
1
(1+x)2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題P：“x≤3，x∈N”的否定命題為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，{bn}分別滿足a1a2…an=n（n-1）…2•1，b1+b2+…+bn=an2．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若數(shù)列{
1
bnbn+1
}的前n項和為Sn，若對任意x∈R，anSn＞-x2-2x+9恒成立，求自然數(shù)n的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且{
Sn
n
}是等差數(shù)列，已知a1=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=12．
（Ⅰ）求{an}的通項公式an；
（Ⅱ）當n≥2時，an+1+
λ
an
≥λ恒成立，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-1與x=
2
3
處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若當x∈[-1，2]時恒有f（x）＜c2+3c成立，求實數(shù)c的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案