Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinxcos（x+

π

3

）+

3

4

，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若斜率為

1

2

的直線與f（x）相切，求其切點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡f（x）為最簡形式，然后求最值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義對f（x）求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值為

1

2

，得到自變量x，然后求函數(shù)值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，f（x）=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

•

1-cos2x

2

+

3

4

=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴f（x）的最大值為

1

2

，最小正周期為π．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=cos（2x+

π

3

），
令cos（2x+

π

3

）=

1

2

，則2x+

π

3

=2kπ±

π

3

（k∈Z），即x=kπ或x=kπ-

π

3

（k∈Z），
故其切點坐標(biāo)為（kπ，

3

4

）或（kπ-

π

3

，-

3

4

）（k∈Z）．（12分）

點評：本題考查了三角函數(shù)的化簡、性質(zhì)以及與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題，屬于�？疾榈念}目．