Question

已知實(shí)數(shù)，函數(shù)。

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)均在不等式，所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。

 

Answer 1

(1)單調(diào)遞增；（2）≤a<0或0<a≤1；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，（1）判斷討論函數(shù)的單調(diào)性，可以求出其導(dǎo)數(shù)，然后解不等式，其解集區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，不等式的解集區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）在區(qū)間上是增函數(shù)，說明不等式在區(qū)間上恒成立，本題中可求出，因此不等式，由于，則在上恒成立，即的最小值，記，它是二次函數(shù)，要求它的最小值，可分和討論；（3）題意是不等式在上恒成立，記，則當(dāng)時(shí)，恒成立，求其導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上，，為減函數(shù)，不恒成立（如），時(shí)，此時(shí)要討論與的大小，以便討論函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909385827773468_DA/SYS201411171909385827773468_DA.037.png">恒成立，就是.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，，

所以， 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909385827773468_DA/SYS201411171909385827773468_DA.041.png">，所以恒成立，

所以在上單調(diào)遞增； 3分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909385827773468_DA/SYS201411171909385827773468_DA.045.png">，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909385827773468_DA/SYS201411171909385827773468_DA.043.png">在[1, 4]上是增函數(shù)，所以在[1, 4]上恒成立，

即在[1, 4]上恒成立，① 5分

令，對稱軸為x=1，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909385827773468_DA/SYS201411171909385827773468_DA.049.png">，所以當(dāng)時(shí)，要使①成立，只需g(1)≥0，解得：a≤1，所以0<a≤1，

當(dāng)時(shí)，要使①成立，只需g(4)≥0，解得：a≥，所以≤a<0，

綜上，≤a<0或0<a≤1； 8分

（3）由題意，有在上恒成立，

令，則在上恒成立，②

所以， 10分

當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閤>2，則，所以在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909385827773468_DA/SYS201411171909385827773468_DA.060.png">，所以②不恒成立， 12分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

所以只需，解得：，

所以時(shí)②恒成立； 14分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，

所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909385827773468_DA/SYS201411171909385827773468_DA.071.png">，所以，所以②不恒成立，

綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍是：。 16分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題.